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Formule per il pianeta Terra

18 Gen. 2013 | categoria N.14 - Gennaio 2013, matematica, riflessioni | Leggi tutto | Nessun commento

Loretta Salino
Il nostro è un pianeta dinamico e la matematica è uno strumento fondamentale per descriverne i processi e forse anche per dare una mano ad affrontare situazioni critiche. Spunti di riflessione dall’anno della matematica per la terra.La regolarità delle forme nella Natura

A che cosa serve la matematica? Molti di noi se lo sono chiesto, almeno una volta nella vita, spesso senza arrivare a una risposta convincente. Ma forse sarebbe più facile rispondere alla domanda “a che cosa non serve la matematica?”, tante sono le sue applicazioni al mondo reale e le sue connessioni con le altre branche del sapere. Se la matematica è linguaggio, astrazione, organizzazione delle idee, tutti noi da bambini siamo stati grandi matematici ogni volta che abbiamo imparato a descrivere e a comprendere la realtà circostante, per esempio riconoscendovi forme geometriche: un cerchio al posto del Sole; una linea retta invece della scia di un aereo; un rettangolo là dove c’era una finestra. Spesso, però, chi si pone la domanda “a che cosa serve la matematica?” non sta cercando il modo in cui questa disciplina modella e struttura il nostro pensiero, ma le sue applicazioni pratiche. È a questo tipo di domanda che tenta di rispondere l’international Mathematical Union con il lancio di Mathematics of Planet Earth 2013, un’iniziativa rivolta a matematici, ricercatori, insegnanti, studenti e divulgatori che ha lo scopo di mettere a fuoco il ruolo della matematica nell’affrontare le sfide del nuovo millennio: dal riscaldamento globale alla crisi finanziaria, dalle emergenze sanitarie che colpiscono varie aree del pianeta alla comprensione dell’Universo.

Un pianeta ancora da scoprire
In una giornata invernale del 1961, Edward Lorenz, professore di meteorologia del MiT di Boston, stava testando alcuni modelli matematici pensati per effettuare previsioni meteo a partire dall’osservazione di grandezze quali temperatura, pressione e velocità del vento. Quel giorno Lorenz era occupato a ripetere una simulazione che aveva già sperimentato, inserendo però un valore approssimato al posto del valore esatto. Quello che né scaturì fu uno scenario completamente diverso dal precedente: quella piccolissima variazione aveva causato enormi modificazioni nei risultati finali.

L’analisi del fenomeno – noto oggi come effetto farfalla [1] – condusse Lorenz alla formulazione della teoria del caos, una visione che mise in grossa crisi l’approccio deterministico degli scienziati, ben espresso da Laplace: se conoscessimo tutto dell’Universo in un dato istante «niente sarebbe incerto e il futuro, come il passato, sarebbero presenti ai nostri occhi». Purtroppo l’esperienza di Lorenz mostrava che, essendo le rilevazioni dei dati affette da errori di misura, le previsioni meteo avrebbero potuto discostarsi sensibilmente dalla realtà a causa di queste – se pur piccole – imprecisioni. Il che aveva un inquietante corollario che si estendeva a tutti i campi della scienza: prevedere il futuro è praticamente impossibile.

L’origine del caos
Ma qual è l’origine del caos? Proviamo a illustrare il concetto con un esempio (del tutto ipotetico). Consideriamo una comunità di 20 leoni. Se gli animali aumentano di 10 individui all’anno, l’andamento della popolazione sarà rappresentato graficamente da una retta il cui coefficiente angolare dà una misura di questo aumento in funzione del tempo. L’andamento risulterà lineare e questo significa che l’incremento è costante nel tempo (Figura 1).


Se consideriamo un’altra comunità, formata al tempo zero da 22 leoni invece che da 20, ma con lo stesso ritmo di crescita all’anno, la differenza tra le due popolazioni sarà sempre di 2 individui. Consideriamo ora una comunità di 20 topi, nella quale il numero di individui raddoppia ogni anno. L’andamento della popolazione non è più lineare ma esponenziale. Quindi se prendiamo ora un gruppo di 22 topi, la differenza tra le due popolazioni non sarà sempre di 2 individui, come nel caso dei leoni, ma crescerà di anno in anno, fino a raggiungere, dopo dieci anni, un valore che supera le 2000 unità (Figura 2).

Mettiamoci nei panni di un ipotetico scienziato che deve fare previsioni e prendere decisioni a lungo termine sulla situazione delle due comunità. nel caso dei leoni possiamo permetterci di commettere piccoli errori nella misurazione della popolazione, sicuri di ritrovarli inalterati anche dopo un lungo periodo. nel caso dei topi, invece, un piccolo errore si trasformerà in una variazione enorme e così la nostra previsione potrebbe discostarsi sensibilmente dal corso reale degli eventi. in un certo senso, quindi, la ragione del caos è profondamente matematica, in quanto risiede nella non linearità di molti fenomeni naturali. Ecco perché la matematica si rivela uno strumento estremamente adatto e potente a descrivere il pianeta che ci accoglie e a svelarne i misteri.

Un modello per prede e predatori
Per descrivere e comprendere il mondo in cui viviamo la scienza fa uso di modelli, ossia traduce in termini matematici i sistemi oggetto di studio. Molti fenomeni che avvengono sulla Terra possono essere rappresentati attraverso sistemi dinamici, cioè gruppi di equazioni differenziali che descrivono l’andamento delle grandezze in gioco e i loro legami funzionali. Fu attraverso sistemi di questo tipo che Lorenz formalizzò la sua teoria del caos ed è grazie alla loro conoscenza che oggi vengono studiati sistemi biologici complessi.

Per capire di che cosa stiamo parlando, facciamo un salto in Michigan, nell’isle Royale national Park. il parco costituisce un caso unico al mondo: qui alci e lupi convivono in un sistema in cui l’alce rappresenta la preda principale per il lupo e viceversa il lupo è l’unico predatore dell’alce. Sistemi come questi possono essere descritti da un punto di vista matematico dalle equazioni di Volterra- Lotka, messe a punto – in maniera indipendente – da Alfred J. Lotka nel 1925 e da Vito Volterra nel 1926 per lo studio dei sistemi preda-predatore. Le soluzioni di questo sistema di equazioni hanno un andamento periodico (Figura 3): ci dovremmo quindi aspettare che le popolazioni di alci e lupi del parco dell’isle Royale abbiano un andamento oscillatorio, come quello delle curve rappresentate nel grafico. La realtà, però, non è esattamente questa. (Figura 3)

Vantaggi e limiti dei modelli
Dal 1958 un gruppo di ricercatori conduce un’analisi attenta delle due popolazioni sull’isola. A cinquant’anni dall’inizio dell’indagine, possiamo affermare che il numero di alci e lupi fluttua sì nel tempo (Figura 4), ma con un andamento che non corrisponde a quello previsto dai modelli matematici (link.pearson.it/f3f4557c).


Il modello di Volterra-Lotka, infatti, è applicabile solo a sistemi chiusi (assenza di migrazioni da e verso il sistema), in cui convivono soltanto una specie di prede e una di predatori (e invece sull’isle Royale i lupi possono nutrirsi anche di lepri e castori), e non tiene minimamente conto delle condizioni ambientali che possono di fatto influenzare il tasso di crescita delle due specie (inverni rigidi, malattie). Se da una parte le equazioni di Volterra- Lotka ci permettono di inquadrare il contesto in cui ci stiamo muovendo (un andamento oscillatorio delle popolazioni di alci e lupi), dall’altra non riescono a coglierne l’estrema complessità.

Il caso delle equazioni di Volterra-Lotka applicate ai lupi e agli alci dell’isle Royale può farci riflettere a molti livelli. Dal punto di vista didattico, può essere di grande aiuto per far comprendere agli studenti l’importanza di un approccio creativo e aperto nei confronti dello studio della natura. Analizzando situazioni come questa, essi possono crescere con una maggiore consapevolezza dei limiti e delle prospettive della scienza, e attivare uno sguardo più critico e maturo nei confronti dei loro materiali di studio.

Matematica per la sanità
Il nostro interesse, però, non è solo osservare e comprendere, ma anche organizzare e sfruttare le risorse disponibili in modo razionale. La matematica ci viene in aiuto a molti livelli: nella finanza, nelle scienze politiche e sociali, nell’organizzazione dei trasporti e delle reti di comunicazione, nella gestione delle risorse naturali, nell’assistenza sanitaria.

È questo il caso della dracunculiasi, una malattia diffusa in varie zone dell’africa e dell’india e debellata in molte aree non grazie a farmaci o vaccini, bensì per merito, in un certo senso, della matematica! Il Dracunculus medinensis è un parassita umano che si diffonde per ingestione di acque contaminate dalle sue larve. Una volta arrivate nell’organismo, le larve si sviluppano e scendono nei piedi e lì causano bruciore e lesioni che possono portare a brutte infezioni. In molti villaggi gli individui affetti da dracunculiasi cercavano sollievo immergendo i piedi nell’unica fonte disponibile, causando la diffusione di larve nell’acqua potabile, che veniva poi ingerita da altre persone, contaminandole. I fattori principali che impattano sulla diffusione del parassita sono tre: la sua riproduzione in acqua (γ), la sua trasmissione da un individuo all’altro (β) e la sua mortalità (μ). La funzione R(γ, β, μ) esprime il numero medio di individui contagiati da un singolo individuo infetto. Per valori di R al di sotto di 1 i contagiati sono meno degli infetti, perciò la diffusione del parassita è in calo.

Il grafico della Figura 5 rappresenta la superficie che si ottiene per R(γ, β, μ)=1; per sconfiggere la dracunculiasi è quindi necessario muoversi al di sotto di questa superficie. Osservandone l’andamento, si nota che per piccoli valori di γ il passaggio da sopra a sotto la superficie avviene in modo molto veloce, qualunque sia il valore delle altre due variabili β e μ. Il grafico mostra quindi che, pure ignorando la trasmissione del parassita e la sua mortalità, è possibile debellarlo semplicemente concentrandosi sulla sua riproduzione in acqua.


Gli investimenti delle istituzioni locali e internazionali si sono quindi concentrati non nella ricerca di farmaci, bensì nell’educare le comunità interessate dalla malattia a immergere i piedi in secchi da cui l’acqua contaminata viene subito eliminata e non direttamente nelle fonti d’acqua potabile. In questo modo l’incidenza della dracunculiasi è diminuita del 99,5%: un miracolo reso possibile da matematica ed educazione [2].

Un pianeta a rischio
Nonostante la disponibilità di strumenti matematici molto potenti e lo sforzo della scienza per descrivere, comprendere e organizzare la realtà, le risorse naturali e la loro biodiversità si trovano oggi in una situazione di grave rischio. Molti ecosistemi hanno perso il loro naturale equilibrio a causa del tremendo impatto delle attività umane. Questo è il risultato di una gestione sbagliata e settoriale delle risorse, condotta senza tener conto delle interazioni tra ecosistemi diversi e tra questi e i sistemi sviluppati dagli esseri umani. Molti si augurano un approccio più sostenibile, in cui le attività umane possano convivere con i processi naturali, restituendo alle future generazioni un pianeta sano e in grado di soddisfare i bisogni di tutti i viventi.

Per i futuri scienziati la sfida che si apre è quella di mettere a fattor comune le esperienze svolte fin qui in diversi campi allo scopo di sviluppare nuovi modelli adatti a sistemi ancora più complessi, in cui le dinamiche degli ecosistemi interagiscono con quelle delle economie umane. Saranno centrali tutte quelle branche della matematica che sapranno fare da ponte tra i diversi ambiti della scienza. Per fare alcuni esempi: la biomatematica, i processi stocastici, le teorie del controllo ottimale, la matematica finanziaria, la teoria dei giochi.

Gli studenti interessati a lavorare in questa direzione potranno sfruttare le iniziative di MPE2013 per programmare nel modo migliore il proprio piano di studi, nella speranza che a una nuova matematica corrispondano nuovi stili di vita, più sostenibili, meno aggressivi, più rispettosi dell’equilibrio del nostro pianeta.

Per approfondire

Risorse

  1. 1. P. Dizikes, When the Butterfly Effect Took Flight, in “MIT Technology Review”, February 22, 2011.
  2. 2. R. Smith, Using Mathematical Models to eradicate disease, Mathematics of Planet Earth.

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Loretta Salino è lo pseudonimo di un gruppo di matematici, ex studenti della Scuola Normale di Pisa, che unisce esperienze nel campo dell’editoria digitale, della didattica e della ricerca pura.

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N.17 - Gennaio 2014