Cédric Villani racconta
Al lavoro con particelle caotiche, disordine ed equazioni
A colloquio con uno dei più grandi matematici al mondo, professore all’Università Claude Bernard di Lione e direttore dell’istituto matematico Henry Poincaré di Parigi: il racconto dei suoi contributi alle teorie cinetiche e al trasporto ottimale, le riflessioni sulla natura della matematica e sul suo insegnamento.
Valentina Murelli
«Nel 1998 sono stato a Pavia per incontrare un collega. Mi ha portato a un concerto di un cantante… si chiamava, mi sembra, Max Gazzè e ha cantato una canzone intitolata Cara Valentina. Come il suo nome, vero?» Vado a trovare Cédric Villani nel suo studio all’Università di Lione e queste sono le prime parole che dice stringendomi la mano, a conferma dell’eccezionalità del personaggio: ricordare dopo 14 anni il titolo di una canzone ascoltata per caso una sera non è da tutti. Villani, classe 1973, è uno dei più grandi matematici al mondo, vincitore nel 2010 della medaglia Fields, considerata il premio Nobel per la matematica e assegnata ogni 4 anni dall’Unione matematica internazionale a studiosi con meno di 40 anni. Merito del premio, i suoi lavori sulle equazioni delle teorie cinetiche e sul trasporto ottimale. I matematici, si sa, sono sempre un po’ eccentrici e da questo punto di vista Villani conferma la regola, presentandosi con quello che è ormai diventato il suo marchio di stile: completo gessato con giacca lunga, panciotto, orologio a cipolla, un’immancabile cravatta Lavallière – questa volta è blu – e un’altrettanto immancabile spilla a forma di ragno. Potrebbe sembrare un po’ dandy, ma non c’è nessun gusto per la provocazione, nessun desiderio di stupire: «Non lo faccio per costruirmi una certa immagine pubblica», precisa. «Al contrario, questo abbigliamento è parte integrante della mia identità, corrisponde esattamente al modo in cui mi vedo.» E nonostante l’eleganza non si avverte alcuna formalità, tanto che appena ci sediamo per l’intervista si toglie le scarpe, allontanandole con un calcio. Un ultimo veloce controllo alle email e infine tutto è pronto per cominciare a parlare di matematica.
Professor Villani, lei si è occupato a lungo di teorie cinetiche. Ci spiega di che cosa si tratta?
Le teorie cinetiche si riferiscono al comportamento di quegli stati della materia costituiti da un gran numero di particelle piccolissime che sono in costante movimento casuale e si urtano continuamente tra di loro, come nel caso dei gas oppure dei plasmi (gas ionizzati, NdR). È impossibile conoscere esattamente la posizione e la velocità di ognuna delle particelle che compongono questi sistemi, ma con le teorie cinetiche si assume che un comportamento imprevedibile a livello individuale diventi prevedibile quando considerato su scala macroscopica, globale. Queste teorie tentano di rispondere a domande generali come: dove vanno nel complesso queste particelle? Ce ne sono molte che vanno in avanti? Oppure molte che vanno all’indietro? O, ancora, verso l’alto o verso il basso? È una questione di interesse matematico e fisico, prima di tutto: serve anche per studiare le proprietà statistiche della distribuzione delle stelle nelle galassie, su scale di tempo molto lunghe, dato che a queste condizioni le stelle possono essere assimilate a particelle in movimento casuale. Ed è anche una questione di interesse pratico: gli ingegneri aeronautici, per esempio, utilizzano le equazioni delle teorie cinetiche per valutare le interazioni tra i flussi d’aria e le ali degli aerei. Tra i principi fondamentali di queste teorie c’è l’equazione di Boltzmann, che predice l’evoluzione delle proprietà di particelle di gas che collidono l’una contro l’altra. Ce n’è anche una variante che predice l’evoluzione di queste proprietà per particelle che interagiscono a lunga distanza, come nei plasmi o nelle galassie. Libri interi sono pieni di discussioni sulle soluzioni di queste equazioni.
Qual è stato il suo contributo a questo campo?
Io mi sono occupato in particolare di due fenomeni legati al concetto di entropia, una misura del disordine molecolare. Il lavoro di Boltzmann ci dice che in un gas l’entropia aumenta spontaneamente, il gas diventa via via più caotico. Ma di quanto aumenta questa entropia e in che modo? È un fenomeno lento o veloce? In che relazione sta con le proprietà del gas? Si può comprenderlo e descriverlo solo in termini matematici? Ecco, io ero interessato a queste domande e insieme ad alcuni collaboratori ho risolto parte del mistero. In particolare, abbiamo evidenziato il punto di incontro tra la teoria dell’informazione che governa l’equazione di Boltzmann e il modo in cui la meccanica dei fluidi influenza l’aumento di entropia e messo in luce l’esistenza di oscillazioni in questo aumento. L’altro problema di cui mi sono occupato è in qualche modo opposto ed è la condizione in cui l’entropia rimane costante, il disordine non aumenta, eppure nel sistema si registra un rilassamento, uno smorzamento. È il fenomeno dello smorzamento di Landau (dal nome del fisico russo Lev Landau, che lo descrisse negli anni quaranta del secolo scorso, NdR), relativo al rilassamento di onde elettromagnetiche che attraversano un plasma. Ci si aspetterebbe un aumento di entropia e invece non c’è. Insieme a un collega abbiamo provato che se si parte da un equilibrio e lo si disturba, questa perturbazione si smorza senza aumento di entropia e che questo è vero per intervalli di tempo molto lunghi o infiniti.
Questa però non sembra solo matematica: c’è di mezzo anche tanta fisica…
Certo, questi sono argomenti di entrambe le discipline e il mio lavoro è un modo di fare fisica con gli occhi della matematica. I matematici che si occupano di questo ambito non lo fanno solo per amore della matematica, né lo fanno nel modo in cui lo farebbero i fisici. Stiamo piuttosto cercando nuove intuizioni fisiche grazie a quel plus che può dare la matematica. Usiamo idee fisiche per orientarci in una giungla di equazioni e modelli e usiamo la matematica per dedurre nuove proprietà fisiche.
Un altro tema di cui si è occupato è quello del trasporto ottimale. Anche in questo caso, può chiarire di che cosa si tratta e qual è stato il suo contributo?
Il trasporto ottimale è un campo di ricerca molto antico, fondato alla fine del diciottesimo secolo in termini molto pratici dal francese Gaspard Monge, che si chiedeva quale fosse la maniera ottimale per trasportare qualcosa che si estrae in un luogo, per esempio della terra, in un altro luogo, per esempio una fortificazione in costruzione. Il problema, però, può anche essere considerato in modo astratto: come spostare qualcosa da un punto all’altro con il minimo dispendio di energia? La domanda vale per moltissimi campi, dalla meteorologia all’economia, alla pianificazione urbana: come ottimizzare il trasporto dell’acqua dalla falda alle abitazioni o la distribuzione nei parcheggi di una flotta di taxi alla fine della giornata di lavoro? Il bello è che negli ultimi 20 anni si è scoperto, con grandissima sorpresa, che il problema riguarda anche altre questioni fisiche, apparentemente molto lontane. Per esempio, si è scoperto che c’è una stretta relazione tra entropia, trasporto ottimale ed equazione del calore (un’equazione che modellizza l’andamento della temperatura in una certa regione dello spazio in particolari condizioni, NdR). In un certo senso si può definire l’equazione di calore di un gas come una forma di evoluzione che fa aumentare l’entropia nel modo più veloce possibile senza spendere troppa energia cinetica. Io mi sono occupato, sempre con un certo numero di collaboratori, del problema del trasporto ottimale nell’ambito della geometria non euclidea. Riflettendo sull’evoluzione dell’entropia nei processi di trasporto ottimale, abbiamo scoperto che a seconda della variazione di entropia possiamo stabilire il tipo di curvatura dello spazio. È stata una scoperta inattesa, con applicazioni potentissime in geometria.
Parlando del suo lavoro, lei cita sempre la collaborazione con colleghi. Dunque il matematico non è quel pensatore perso dietro al filo dei suoi ragionamenti, solitario e un po’ misantropo, che tendiamo a immaginare?
Oh no! La vita di un matematico è fatta di pensiero ma anche di incontri: meet and think, meet and think, meet and think. Ci incontriamo e ci scambiamo idee, poi lavoriamo da soli, poi ci incontriamo di nuovo e di nuovo torniamo a lavorare da soli e così via. In genere ogni idea nasce dal confronto con altri, dal contatto diretto tra persone e questo è un aspetto della matematica che non è mai cambiato, anche se oggi è possibile avviare collaborazioni più numerose e più estese.
Un altro aspetto del suo lavoro è il confronto continuo con quello di grandi matematici del passato, per esempio ora ha citato Boltzmann o Monge. Quanto è importante questo confronto?
Un matematico vive costantemente in compagnia dei “colleghi” del passato e delle loro idee. La matematica è forse la disciplina che più di tutte non fa che costruire e crescere su “vecchie” idee. Un concetto matematico che era bello 3000 anni fa lo è ancora oggi: abbiamo più teorie, più strumenti di comprensione, ma possiamo tornare a studiarlo, a spiegarlo, ad approfondirlo perché il meccanismo di ragionamento logico è sempre lo stesso. Non possiamo prescindere dall’incredibile eredità dei giganti del passato, che con la mente hanno esplorato territori interamente nuovi. Per questo mi piace a volte andare a riflettere sulle tombe dei miei “eroi matematici”, come quella di Ludwig Bolztmann a Vienna. Tutto ciò ti fa sentire automaticamente umile, ma ti fa anche sentire di essere parte di un’immensa comunità estesa in tutto il mondo, nel passato e nel futuro.
Tornando alla sua attività: di che cosa si sta occupando in questo periodo?
Sono sempre interessato a problemi relativi a sistemi di particelle, in particolare a come passare da equazioni per sistemi microscopici a equazioni per sistemi macroscopici. Anche nel caso delle equazioni cinetiche più semplici questo è un problema ancora aperto, oppure risolto solo per pochi casi particolari. Consideriamo due elettroni: più sono vicini più si respingono. Affrontare questo fenomeno dal punto di vista matematico è estremamente complesso quando in gioco ci sono più particelle: il passaggio dalla dinamica newtoniana delle singole particelle alla dinamica statistica dell’insieme non è ancora risolto. Mi piacerebbe tantissimo portare un contributo in questo campo, ma al momento sto procedendo lentamente, sia perché è un problema davvero difficile, sia perché dopo aver ricevuto la medaglia Fields sono stato molto impegnato in attività di divulgazione. Che mi divertono, ma rallentano la ricerca.
Riassumendo: lei si è occupato di fisica matematica, di probabilità e statistica, di geometria, di analisi. C’è qualcosa che lega tutto questo?
Sicuramente un tema ricorrente nella mia ricerca è l’entropia, che c’entra con l’equazione di Boltzmann, ma anche con lo smorzamento di Landau e con il trasporto ottimale e che può essere analizzata da vari punti di vista. Per me è un concetto estremamente interessante, perché è allo stesso tempo semplice e profondo, pieno di significati. Parliamo sempre di energia, ma in realtà la forza dominante del mondo è l’entropia. Non ci pensiamo mai, ma l’entropia è ovunque: nello scorrere del tempo, nell’irreversibilità, nel nostro invecchiamento, nel fatto che per rimanere vivi dobbiamo necessariamente contrastarla e mantenerla a un basso livello. Detto questo, come mentalità matematica io sono un analista: per me un problema deve sempre essere tradotto in equazioni. Per prima cosa definisco il problema nel modo più preciso e “affilato” possibile, poi cerco di risolverlo sferrandogli un attacco frontale.
La matematica sembra avere una doppia natura: quella di disciplina applicata, di strumento essenziale per la scienza e la tecnologia e quella di pura creazione astratta. Lei come la vede?
C’è stato un periodo in cui apprezzavo particolarmente il fatto che la matematica è così applicata ed efficiente, ma ormai per me è chiaro che prima di tutto viene l’astrazione. Ovviamente, la natura astratta non impedisce affatto alla matematica di affondare radici profonde nella realtà. Anzi, penso proprio che parte del suo “potere”, della sua efficienza in ambito applicato, dipenda proprio dall’astrazione, perché per definizione qualcosa che è astratto lo si può applicare a molte situazioni diverse. Henry Poincaré diceva che fare matematica è dare lo stesso nome a due cose differenti: ecco, per me questo è il senso della matematica.
Di recente lei è stato tra le “anime” di Mathematics: A Beautiful Elsewhere, una mostra organizzata dalla Fondazione Cartier per l’arte contemporanea di Parigi in cui matematici e artisti sono stati chiamati a costruire un’esposizione che mostrasse le meraviglie della matematica. Per lei che cos’è il bello in matematica?
Rispondere a questa domanda è difficilissimo. A volte ho cercato di esprimere questa difficoltà confrontandola con quella che si ha nello spiegare il concetto di bello in musica a qualcuno che non può udire, ma poi ho capito che era un approccio offensivo, perché lasciava intendere che occorre un senso speciale per apprezzare la matematica. Invece non è vero. Tutti possono almeno intravedere questa bellezza e la mostra di Parigi aveva proprio questo senso: far arrivare alla pancia della gente la sensazione di bello matematico, senza passare per il cervello. L’unica cosa che mi sento di dire è che alla base di ogni teoria del bello c’è sempre l’elemento della sorpresa: è bello qualcosa di inatteso, di raro, di fuori dalla routine, è bello il fatto di trovare all’improvviso un’armonia comune tra aspetti differenti e lontani.
Molti studenti detestano la matematica, che trovano troppo noiosa e difficile. Nel libro Contro l’ora di matematica, il docente americano Paul Lockhart sostiene un po’ provocatoriamente che bisognerebbe abbandonare l’insegnamento tradizionale fatto di formule da imparare a memoria e serie infinite di esercizi per fare in classe del vero ragionamento matematico. Lei che cosa ne pensa?
Ho due opinioni riguardo all’insegnamento della matematica. Da una parte è un dato di fatto che nelle scuole superiori non si impara nessun concetto che sia stato formulato dopo il diciottesimo secolo: pensate che cosa accadrebbe se lo si facesse con la biologia! Questo approccio dà l’idea che la matematica sia qualcosa di arido, rigido, morto, già tutto compreso e dunque inutile. Invece è proprio il contrario: la matematica è viva e piena di problemi aperti e bisognerebbe trovare il modo di far capire che è così. Dall’altra parte, però, è anche vero che lo scopo principale dei corsi di matematica nelle scuole non è dare agli studenti strumenti per lavorare da soli a problemi attuali, ma fornire basi solide di ragionamento, strutturare il loro cervello e la loro capacità di capire, e di sforzarsi a capire. In questo percorso formule ed esercizi sono molto importanti. Io credo fermamente nel valore degli esercizi: allenarsi è fondamentale!
Anche un po’ faticoso, però…
Certo risolvere problemi su problemi può essere un pochino “doloroso”. Del resto è come nello sport: se si vuole essere bravi e ottenere qualche risultato bisogna fare fatica, sentire i muscoli stanchi. Una piccola sofferenza è inevitabile e penso che sia un errore trasformare la matematica in qualcosa che è solo gioco e divertimento. Bisognerebbe però trovare il giusto equilibrio tra i due aspetti e in questo è centrale il ruolo degli insegnanti, che dovrebbero anche condividere le loro esperienze, le strategie che mettono in atto per far ottenere progressi con esercizi, pratica, rigore, ma senza troppa noia.
Come abbiamo visto lei lavora al confine tra più discipline matematiche. Crede che sarebbe importante promuovere questa interdisciplinarità anche a scuola?
Negli ultimi decenni si è capito che i vari rami della matematica sono ancora più strettamente correlati tra loro di quanto pensato: alcuni tra i più importanti problemi di geometria, per esempio, sono stati risolti da analisti. Apprezzare questa correlazione, però, richiede un livello abbastanza avanzato di conoscenze. Qualcosa si può fare – ricordo un insegnante che ci chiedeva di risolvere gli esercizi in modi differenti (uno analitico, uno geometrico e così via) – ma forse basterebbe cominciare a lavorare sui contatti tra la matematica e le altre discipline scientifiche: la chimica, la fisica, la biologia. È molto importante che gli studenti capiscano che sono tutte collegate.
Un’ultima domanda: com’era il suo rapporto con gli insegnanti di matematica, da studente, e com’è ora il suo rapporto con i suoi allievi?
Ero un bambino nerd, timidissimo. Ero molto interessato a quello che dicevano i professori, ma partecipavo pochissimo alle lezioni. Ora come docente chiedo esattamente questo ai miei studenti: di partecipare, fare domande, interrompermi. Probabilmente mi sarei odiato come professore! In ogni caso, dò moltissima importanza all’atto dell’insegnare, perché ha a che fare con la trasmissione del sapere, ma anche con la mia crescita personale. Tra i matematici francesi credo di essere l’unico a non aver mai neppure provato a ottenere una posizione esclusivamente di ricerca: ho sempre cercato di occuparmi anche di insegnamento.
Per approfondire
- S. Benvenuti, Dimenticare Euclide?, in “Linx Magazine”, n.8, 2011.
- K. Devlin, I problemi del millennio. I sette enigmi matematici irrisolti del nostro tempo, Longanesi, Milano 2004.
- Les grands problèmes mathématiques, in “Dossier Pour la Science”, édition française di “Scientific American”, n.74, 2012.
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L’autrice
Valentina Murelli è giornalista ed editor scientifica freelance. Collabora con varie case editrici e testate, tra cui “L’Espresso”, “OggiScienza”, “Le Scienze”, “Mente & Cervello” e “Meridiani”.
